|
Навигация
|
Главная » Новости Используем быстрое возведение матриц в степень для написания очень быстрого интерпретатора простого языка программирования иИсточник: habrahabr SkidanovAlex Недавно на хабре появилась неплохая статья про вычисление N-ного числа фибоначи за O(log N) арифметических операций. Разумный вопрос, всплывший в комментариях, был: "зачем это может пригодиться на практике". Само по себе вычисление N-ого числа фибоначи может и не очень интересно, однако подход с матрицами, использованный в статье, на практике может применяться для гораздо более широкого круга задач. В ходе этой статьи мы разберем как написать интерпретатор, который может выполнять простые операции (присвоение, сложение, вычитание и урезанное умножение) над ограниченным количеством переменных с вложенными циклами с произвольным количеством итераций за доли секунды (конечно, если промежуточные значения при вычислениях будут оставаться в разумных пределах). Например, вот такой код, поданный на вход интерпретатору: Незамедлительно выведет a = 1000000000000000000000000000, b = 500000000000000000000000000500000000000000000000000000, несмотря на то, что если бы программа выполнялась наивно, интерпретатору необходимо было бы выполнить октиллион операций.Я полагаю, что у читателя есть представление о том, что такое матрица, и что такое произведение матриц. В рамках этой статьи мы будем использовать исключетельно квадратные матрицы и полагаться на очень важное свойство умножения квадратных матриц - ассоциативность. Для простоты ограничим наш интерпретатор четырьмя переменными - A, B, C и D. Для представления состояния интерпретатора в заданный момент будем использовать вектор размера пять, первые четыре элемента которого будут содержать значения четырех переменных соответственно, а последний будет на протяжении всей работы интерпретатора равен единице. В начале работы интерпретатора будем полагать значения всех переменных равными нулю. Допустим, что первая операция в коде программы содержит строку Эффект этой команды заключается в том, что значение переменной A увеличится на пять, в то время как значения остальных трех переменных не изменятся. Это можно претставить в виде следующей матрицы: Если посмотреть на нее, можно заметить, что она почти идентична единичной матрице (которая, как известно, при умножении любого вектора на нее не меняет его значения), за исключением последнего элемента в первом столбце, который равен пяти. Если вспомнить, как происходит умножение вектора на матрицу, можно понять, что значения всех элементов, кроме первого, не изменятся, в то время как значение первого элемента станет равно Так как v[0] содержит текущее значение в переменной A, а v[4] всегда равен единице, то Если вектор текущего состояния умножить на эту матрицу, полученный вектор будет соответствовать состоянию, в котором A на пять больше, что и требовалось.Если матрицу поменять немного, убрав единицу в первом элементе первой строки: Как и прежде, значения всех элементов кроме первого не изменятся, в то время как первый элемент станет равным v[4] * 5, или просто пяти. Умножение вектора текущего состояния на такую матрицу эквивалентно выполнению команды Посмотрим на такую матрицу: Единственное отличие ее от единичной матрицы - это второй элемент в четвертой строке, который равен единице. Очевидно, что умножение вектора текущего состояния на эту матрицу не изменит значения в первом и последних трех элементах, в то время как значение второго элемента изменится на Так как v[1] содержит текущее значение переменной B, а v[3] содержит текущее значение переменной D, то умножение вектора состояния на такую матрицу эквивалентно выполнению команды B += D Аналогично рассуждая можно понять, что умножение вектора состояния на следующую матрицу эквивалентно выполнению команды C *= 7 Перейдем к комбинированию команд. Пусть вектор v задает текущее состояние, матрица Ma соответствует команде A += 5, а матрица Mm соответствует команде A *= 7. Тогда, чтобы получить вектор r для состояния после выполнения этих двух команд, надо сначала умножить v на Ma, а затем на Mm: Как и ожидается, умножение вектора начального состояния на эти две матрицы приводит в состояние, в котором a=35: Рассмотрим другой пример - пусть вместо умножения на семь, мы просто хотим прибавить пять к A семь раз. Тут на помощь приходит ассоциативное свойство умножения матриц: Это пример простого цикла - вместо того, чтобы умножать v на Ma семь раз, достаточно возвести матрицу Ma в седьмую степень, после чего выполнить только одно умножение. Если бы мы хотели выполнить следующие две операции в цикле три раза: (Пусть операция B -= C представляется матрицей Mbc), это бы выглядело следующим образом: Мы вычисляем матрицу, соответствующую телу цикла, только один раз, после чего возводим ее в степень. Рассмотренных примеров достаточно, чтобы начать работать над интерпретатором простого языка, поддерживающего присваивание, сложение, вычитание, умножение (только на константу) и циклы. Для этого мы научимся представлять любую такую программу в виде матрицы размера N+1 на N+1, где N - это количество переменных, которыми программа оперирует, после чего будем просто умножать вектор с начальным состоянием на эту матрицу. Правила представления программы в виде матрицы очень просты:1. Каждая отдельная команда представляется в виде матрицы, отличающейся от единичной одним элементом (или двумя для операции присваивания). Примеры таких матриц рассмотрены выше в этой статье. 2. Несколько подряд идущих команд представляются в виде матрицы, равной произведению матричного представления каждой отдельной команды. 3. Цикл представляется в виде матрицы, представляющей тело цикла, возведенной в степень количества итераций цикла. Если у нас есть функция identity, возвращающая единичную матрицу: То фукнция, строящая матрицу для команды r1 += r2 (где r1 и r2 - переменные) может выглядеть так: А для команды r += val (r - переменная, val - константа) вот так: Функции для построения матриц других команд выглядят похоже - получается единичная матрица, в которой заменяется один элемент. Интерпретатор без циклов теперь пишется очень просто - пусть матрица mat соответствует уже прочитанному коду. В начале она равна единичной матрице, потому что пустая программа не меняет состояния. Затем мы считываем команды по одной, разбиваем их на три элемента (левый операнд, оператор, правый операнд), и в зависимости от оператора домножаем матрицу, соответствующую всей программе, на матрицу, соответствующую текущей команде: Осталось дело за малым - добавить поддержку циклов. Цикл возводит матрицу тела цикла в степень количества итераций цикла. Возведение в степень, как известно, требует только O(log N) операций, где N - это степень, в которую матрица возводится. Алгоритм возведения в степень очень прост:1. Если степень равна нулю, вернуть единичную матрицу. 2. Если степень четная, пусть 2N, то можно рекурсивно вычислить M^N, а затем вернуть квадрат получившейся матрицы. 3. Если степень нечетная, пусть 2N+1, то достаточно рекурсивно посчитать значение M^2N, и вернуть полученную матрицу, умноженную на M. Так как каждые две итерации степень сокращается в двое, сложность такого алгоритма логарифмическая. В интерпретаторе теперь осталось добавить одну строку: И интерпретатор готов. Пример интерпретатора доступен на гитхабе. Весь код занимает меньше 100 строк. Для теста скорости можно вернуться к уже упомянутым числам фибоначи. Например, такой код: Вычислит 101-ое и 102-ое числа фибоначи: A = 573147844013817084101, B = 927372692193078999176 Замена 100 на 1000000 вычислит миллион первое и миллион второе числа за четыре секунды. Выполнение такой программы в лоб заняло бы гораздо больше, потому что программе приходится оперировать многотысячезначными числами. Если написать код, которому не приходится оперировать большими числами, например код для вычисления суммы арифметической прогрессии, приведенный в начале статьи, то количество итераций может уходить за рамки разумного, но код будет выполняться за доли секунды На практике этот подход может применяться, например, в оптимизирующих компиляторах, которые могут таким образом сворачивать циклы с большим количеством итераций, оперирующие на небольшом количестве переменных. Поговорим о дизайне. Корпоративный стиль. Как это?. BPwin - незаменимый инструмент для менеджеров, аудиторов, юристов. Dell предлагает сетевую фабрику из модульных коммутаторов. РЭЙ КУРЦВЕЙЛ И ЕГО ИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ В GOOGLE. Нужны ли компаниям проекты на основе технологий Big Data?. Главная » Новости |
© 2024 Team.Furia.Ru.
Частичное копирование материалов разрешено. |